G  [DR] =             =

 G  [DR] =         =

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

O tensor de tensão de Maxwell (em homenagem a James Clerk Maxwell) é um tensor simétrico de segunda ordem usado no eletromagnetismo clássico para representar a interação entre as forças eletromagnéticas e o momento mecânico. Em situações simples, como uma carga pontual movendo-se livremente em um campo magnético homogêneo, é fácil calcular as forças sobre a carga a partir da lei de força de Lorentz. Quando a situação se torna mais complicada, esse procedimento comum pode se tornar impraticável, com equações abrangendo várias linhas. Portanto, é conveniente coletar muitos desses termos no tensor de tensão de Maxwell e usar a aritmética de tensores para encontrar a resposta para o problema em questão.

Na formulação relativística do eletromagnetismo, o tensor de Maxwell aparece como uma parte do tensor eletromagnético de tensão–energia que é o componente eletromagnético do tensor de tensão–energia total. O último descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaço-tempo.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Conforme descrito abaixo, a força eletromagnética é escrita em termos de ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$. Usando o cálculo vetorial e as equações de Maxwell, a simetria é procurada nos termos contendo ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$, e a introdução do tensor de tensão de Maxwell simplifica o resultado.

Equações de Maxwell em unidades SI em vácuo
(para referência)

Nome	Forma diferencial
Lei de Gauss (no vácuo)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
Lei de Gauss para magnetismo	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0}$
Equação de Maxwell – Faraday (Lei de indução de Faraday)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Lei dos circuitos de Ampère (no vácuo) (com a correção de Maxwell)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$

/  G  [DR] =         =

1. Começando com a lei de força de Lorentz
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\\[3pt]&=\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau \end{aligned}}}$$

    /  G  [DR] =         =
   a força por unidade de volume é
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$$

    /  G  [DR] =         =
2. Em seguida, ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \mathbf {J} }$ podem ser substituídos pelos campos ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$, usando a lei de Gauss e a lei dos circuitos de Ampère:
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} }$$

    /  G  [DR] =         =
3. A derivada do tempo pode ser reescrita para algo que pode ser interpretado fisicamente, ou seja, o vetor de Poynting. Usando a regra do produto e a lei de indução de Faraday dá
   $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )}$$

    /  G  [DR] =         =
   e agora podemos reescrever ${\displaystyle \mathbf {f} }$ como
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),}$$

    /  G  [DR] =         =
   então coletar termos com${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ dá
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$

    /  G  [DR] =         =
4. Um termo parece estar "faltando" da simetria em ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$, o que pode ser obtido inserindo ${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} }$ por causa da lei de Gauss para o magnetismo:
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$

   / 
   / G  [DR] =       

1. Eliminando as ondulações (que são bastante complicados de calcular), usando a identidade de cálculo vetorial
   $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,}$$

    /  G  [DR] =         =
   leva a:
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$

   /
2. G  [DR] =         =
3. Essa expressão contém todos os aspectos do eletromagnetismo e do momento e é relativamente fácil de calcular. Pode ser escrito de forma mais compacta introduzindo o tensor de tensão de Maxwell,
   $${\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right).}$$

   /  G  [DR] =         =
   Todos, exceto o último termo de ${\displaystyle \mathbf {f} }$ podem ser escritos como a divergência do tensor de tensão de Maxwell, dando:
   $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,,}$$

    /  G  [DR] =         =
   Como no teorema de Poynting, o segundo termo no lado direito da equação acima pode ser interpretado como a derivada temporal da densidade de momento do campo eletromagnético, enquanto o primeiro termo é a derivada temporal da densidade de momento para as partículas massivas. Desta forma, a equação acima será a lei de conservação do momento na eletrodinâmica clássica. onde o vetor de Poynting foi introduzido
   $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$$

    / G  [DR] =         =

na relação acima para a conservação do momento, ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ é a densidade do fluxo de momento e desempenha um papel semelhante a ${\displaystyle \mathbf {S} }$ no teorema de Poynting.

A derivação acima assume conhecimento completo de ambos ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \mathbf {J} }$ (tanto cargas livres quanto limitadas e correntes). Para o caso de materiais não lineares (como ferro magnético com uma curva BH), o tensor de tensão de Maxwell não linear deve ser usado.^[1]

Equação[editar | editar código-fonte]

Na física, o tensor de tensão de Maxwell é o tensor de tensão de um campo eletromagnético. Conforme derivado acima em unidades S.I., é dado por:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$, / 

 G  [DR] =         =

onde ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ é a constante elétrica e ${\displaystyle \mu _{0}}$ é a constante magnética, ${\displaystyle \mathbf {E} }$ é o campo elétrico, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ é o campo magnético e ${\displaystyle \delta _{ij}}$ é o delta de Kronecker. Na unidade cgs gaussiana, é dado por:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}$, / 

 G  [DR] =         =

onde ${\displaystyle \mathbf {H} }$ é o campo magnetizante [en].

Uma forma alternativa de expressar este tensor é:

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}$ / 

 G  [DR] =         =

onde ${\displaystyle \otimes }$ é o produto diádico, e o último tensor é a díade unitária:

${\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)}$

O elemento ${\displaystyle ij}$ do tensor de tensão de Maxwell tem unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e fornece o fluxo de momento paralelo ao ${\displaystyle i}$-ésimo eixo cruzando uma superfície normal ao ${\displaystyle j}$-ésimo eixo (na direção negativa) por unidade de tempo.

Essas unidades também podem ser vistas como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o elemento ${\displaystyle ij}$ do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao ${\displaystyle i}$-ésimo eixo sofrida por uma superfície normal ao ${\displaystyle j}$-ésimo eixo por unidade de área. De fato, os elementos diagonais fornecem a tensão (puxando) atuando em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Ao contrário das forças devido à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal ao elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensão.

O tensor de tensão de Maxwell é um número complexo cuja parte real é a densidade de fluxo de momento [en] de Poynting.^[2]

Na magnetostática[editar | editar código-fonte]

Se o campo for apenas magnético (o que é amplamente verdadeiro em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades S.I. torna-se:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}$ / 

 G  [DR] =         =

Para objetos cilíndricos, como o rotor de um motor, isso é ainda mais simplificado para:

${\displaystyle \sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.}$ / 

 G  [DR] =         =

onde ${\displaystyle r}$ é o cisalhamento na direção radial (para fora do cilindro) e ${\displaystyle t}$ é o cisalhamento na direção tangencial (ao redor do cilindro). É a força tangencial que gira o motor. ${\displaystyle B_{r}}$ é a densidade de fluxo na direção radial, e ${\displaystyle B_{t}}$ é a densidade de fluxo na direção tangencial.

Na eletrostática[editar | editar código-fonte]

Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece, ou seja, ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} }$, e obtemos o tensor de tensão de Maxwell eletrostático. Ele é dado na forma de componentes por:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}$ / 

 G  [DR] =         =

e na forma simbólica por:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }$ / 

 G  [DR] =         =

onde ${\displaystyle \mathbf {I} }$ é o tensor de identidade apropriado ${\displaystyle {\big (}}$geralmente ${\displaystyle 3\times 3{\big )}}$.

Autovalor[editar | editar código-fonte]

Os autovalores do tensor de tensão de Maxwell são dados por:

${\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}$ / 

 G  [DR] =         =

Esses autovalores são obtidos pela aplicação iterativa do lema dos determinantes da matriz, em conjunto com a fórmula de Sherman–Morrison [en].

Observando que a matriz de equação característica, ${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } }$, pode ser escrita como

${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$ / 

 G  [DR] =         =

onde

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}$ / 

 G  [DR] =         =

definimos

${\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}$ / 

 G  [DR] =         =

Aplicando o lema do determinante de matriz uma vez, isso nos dá

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}$ / 

 G  [DR] =         =

Aplicá-lo novamente produz,

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}$ / 

 G  [DR] =         =

A partir do último multiplicando no RHS, vemos imediatamente que ${\displaystyle \lambda =-V}$ é um dos autovalores.

Para encontrar o inverso de ${\displaystyle \mathbf {U} }$ , usamos a fórmula de Sherman-Morrison:

${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}$

Fatorando um termo ${\displaystyle \left(-\lambda -V\right)}$ no determinante, resta-nos encontrar os zeros da função racional:

${\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}$

Assim, uma vez que resolvemos

${\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}$ / 

 G  [DR] =         =

obtemos os outros dois autovalores.

Na física relativística, o tensor eletromagnético tensão–energia é a contribuição para o tensor tensão–energia devido ao campo eletromagnético.^[1] O tensor tensão–energia descreve o fluxo de energia e momento no espaço-tempo. O tensor eletromagnético de tensão–energia contém o negativo do tensor de tensão de Maxwell clássico que governa as interações eletromagnéticas.

Definição[editar | editar código-fonte]

Unidades do S.I.[editar | editar código-fonte]

No espaço livre e no espaço-tempo plano, o tensor eletromagnético tensão–energia em unidades do S.I. é:^[2]

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$ 

/  G  [DR] =         =

onde ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ é o tensor eletromagnético e onde ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ é o tensor métrico de Minkowski [en] de assinatura métrica (− + + +). Ao usar a métrica com assinatura (+ − − −), a expressão à direita do sinal de igual terá sinal oposto.

Explicitamente em forma de matriz:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},}$

onde

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$ / 

 G  [DR] =         =

é o vetor de Poynting,

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$ / 

 G  [DR] =         =

é o tensor de tensão de Maxwell e c é a velocidade da luz. Assim, ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ é expresso e medido em unidades de pressão do S.I. (pascal).

Convenções de unidades C.G.S.[editar | editar código-fonte]

A permissividade do espaço livre e a permeabilidade do espaço livre em unidades gaussianas [en] c.g.s. são:

${\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,}$ / 

 G  [DR] =         =

então:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$ / 

 G  [DR] =         =

e na forma de matriz explícita:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}}$

onde o vetor de Poynting se torna:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$ / 

 G  [DR] =         =

O tensor tensão-energia para um campo eletromagnético em um meio dielétrico é menos bem compreendido e é o assunto da controvérsia não resolvida de Abraham – Minkowski.^[3]

O elemento ${\displaystyle T^{\mu \nu }\!}$ do tensor tensão-energia representa o fluxo do μ-ésimo componente do quadrimomento do campo eletromagnético, ${\displaystyle P^{\mu }\!}$, passando por um hiperplano (${\displaystyle x^{\nu }}$ é constante ). Representa a contribuição do eletromagnetismo para a fonte do campo gravitacional (curvatura do espaço-tempo) na relatividade geral.

Propriedades algébricas[editar | editar código-fonte]

O tensor eletromagnético tensão-energia tem várias propriedades algébricas:

• É um tensor simétrico:
  $${\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }}$$

   /  G  [DR] =         =
• O tensor ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\alpha }}$ não tem traços:
  $${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha }=0.}$$

  

Prova

Usando a forma explícita do tensor,

$${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}$$

 /  G  [DR] =         =

Baixando os índices e usando o fato de que 

$${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}$$

 /  G  [DR] =         = 

Então, usando

${\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}$,

$${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}$$

 /  G  [DR] =         =

Observe que no primeiro termo, μ e α e apenas índices fictícios, então os renomeamos como α e β, respectivamente.

$${\displaystyle T_{\alpha }^{\alpha }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0}$$

 /  G  [DR] =         =

$${\displaystyle T^{00}\geq 0}$$

A simetria do tensor é como para um tensor tensão–energia geral na relatividade geral. O traço do tensor energia–momento é um escalar de Lorentz; o campo eletromagnético (e em particular as ondas eletromagnéticas) não tem escala de energia invariante de Lorentz, então seu tensor de energia-momento deve ter um traço de fuga. Essa ausência de traços eventualmente se relaciona com a falta de massa do fóton.^[4]

Leis de conservação[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Leis de conservação

O tensor eletromagnético tensão–energia permite uma maneira compacta de escrever as leis de conservação de energia e de momento linear no eletromagnetismo. A divergência do tensor tensão–energia é:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,}$ / 

 G  [DR] =         =

onde ${\displaystyle f_{\rho }}$ é a força de Lorentz (4D) por unidade de volume na matéria.

Esta equação é equivalente às seguintes leis de conservação 3D

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \Leftrightarrow \ \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0\end{aligned}}}$ / 

 G  [DR] =         =

descrevendo respectivamente o fluxo de densidade de energia eletromagnética

${\displaystyle u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,}$ / 

 G  [DR] =         =

e densidade de momento eletromagnético

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2}}}}$ / 

 G  [DR] =         =

onde J é a densidade de corrente elétrica, ρ a densidade de carga elétrica e ${\displaystyle \mathbf {f} }$ é a densidade de força de Lorentz.